3/27 Saturday1概率論與數(shù)理統(tǒng)計 授課老師：辦圖網(wǎng)

2概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學科。

3第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機試驗 1.2 樣本空間 1.3 概率和頻率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 條件概率 1.6 獨立性第二章 隨機變量及其分布 2.1 隨機變量 2.2 離散型隨機變量及其分布 2.3 隨機變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布目錄

4 概 率 論

5關鍵詞： 樣本空間 隨機事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨立性第一章 概率論的基本概念

6§1 隨機試驗確定性現(xiàn)象：結果確定不確定性現(xiàn)象：結果不確定——確定——不確定——不確定自然界與社會生活中的兩類現(xiàn)象例： 向上拋出的物體會掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會中獎

7概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗。 它具有以下特性：可以在相同條件下重復進行事先知道可能出現(xiàn)的結果進行試驗前并不知道哪個試驗結果會發(fā)生 例： 拋一枚硬幣，觀察試驗結果；對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)；對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓；對聽課人數(shù)進行一次登記；

8§2 樣本空間·隨機事件(一)樣本空間 定義：隨機試驗E的所有結果構成的集合稱為E的 樣本空間，記為S={e}， 稱S中的元素e為基本事件或樣本點．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={ x|a≤x≤b }　記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù) 例：　一枚硬幣拋一次　記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y 　記錄一批產(chǎn)品的壽命x

9(二) 隨機事件 一般我們稱S的子集A為E的隨機事件A，當且僅當A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件A發(fā)生。 S＝{0,1,2,…}；例：觀察89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將S亦視作事件，則每次試驗S總是發(fā)生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含 任何樣本點。

10(三) 事件的關系及運算事件的關系（包含、相等）例：記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

11 事件的運算當AB=Φ時，稱事件A與B不相容的，或互斥的。

12 “和”、“交”關系式例：設A={ 甲來聽課 }，B={ 乙來聽課 } ，則：{甲、乙至少有一人來}{甲、乙都來}{甲、乙都不來}{甲、乙至少有一人不來}

13§3 頻率與概率(一)頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗次 數(shù)。稱 為A在這n次試驗中發(fā)生的頻率。例：中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計”課，其中有15次遲到，記 A={聽課遲到}，則 # 頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。

表 1 例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率

15表 2

16** 頻率的性質(zhì)：且 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

17 (二) 概率 定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p 定義2：將概率視為測度，且滿足： 稱P(A)為事件A的概率。

18性質(zhì)：

19§4 等可能概型（古典概型）定義：若試驗E滿足：S中樣本點有限(有限性)出現(xiàn)每一樣本點的概率相等(等可能性)稱這種試驗為等可能概型(或古典概型)。

20例1：一袋中有8個球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4－8號為黃球，設摸到每一 球的可能性相等，從中隨機摸一球， 記A={ 摸到紅球 }，求P(A)． 解： S={1,2,…,8} A={1,2,3}

21例2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記A={恰是一紅一黃}，求P(A)． 解：例3：有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放 回的取n件， 記Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：

22例4：將n個不同的球，投入N個不同的盒中(n≤N)，設每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記A＝{ 恰有n個盒子各有一球 }，求P(A)． 解： 即當n＝2時，共有N2個樣本點；一般地，n個球放入N個盒子中，總樣本點數(shù)為Nn，使A發(fā)生的樣本點數(shù) 可解析為一個64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為99.7%．若取n＝64，N＝365

23 例5：一單位有5個員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。 解：將5為員工看成5個不同的球， 7天看成7個不同的盒子， 記A={ 無2人在同一天休息 }， 則由上例知：

24例6: (抽簽問題)一袋中有a個紅球，b個白球，記a＋b＝n． 設每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸n次。 設 { 第k次摸到紅球 }，k＝1,2,…,n．求 解1： 號球為紅球，將n個人也編號為1,2,…,n．----------與k無關 可設想將n個球進行編號： 其中 視 的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率 相等。

25解3： 將第k次摸到的球號作為一樣本點：原來這不是等可能概型解2： 視哪幾次摸到紅球為一樣本點解4： 記第k次摸到的球的顏色為一樣本點： S＝{紅色,白色}，

26 解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.例7：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的? 人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。

§5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有85%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件， 記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品}。 則 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 記：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是將整批產(chǎn)品記作1時A的測度P(B|A)=0.95 是將合格品記作1時B的測度由P(B|A)的意義，其實可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率分析：

28一、條件概率 定義： 由上面討論知，P(B|A)應具有概率的所有性質(zhì)。 例如：二、乘法公式 當下面的條件概率都有意義時：

29 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下 的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80% 的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn) 品的報廢率。利用乘法公式 解：設 A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢} B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，

30 例：某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通 過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。解： 設 Ai={ 這人第i次通過考核 }，i=1,2,3 A={ 這人通過考核 }，亦可：

31 例：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣： 解： 設 Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2 B={取2張恰是一紅一黑}

32三、全概率公式與Bayes公式定義：設S為試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。若： 則稱B1,B2,…,Bn為S的一個劃分,或稱為一組完備事件組。即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時發(fā)生又是不可能的。

33 定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 則稱： 證明： 定理：接上定理條件， 稱此式為Bayes公式。

34* 全概率公式可由以下框圖表示： 設 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,…,n 易知：SP1P2Pn...B2q2q1qn

35 例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%， 若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 Bayes公式全概率公式解：設A={甲出差}，B={乙出差}

36 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有5% 的假陽性及5%的假陰性：若設A={試驗反應是陽性}， C={被診斷患有癌癥} 則有： 已知某一群體 P(C)=0.005，問這種方法能否用于普查？若P(C)較大，不妨設P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值 若用于普查，100個陽性病人中被診斷患有癌癥的 大約有8.7個，所以不宜用于普查。

37§6 獨立性 例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次,每次取1件，設Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽樣時，放回抽樣時， 即放回抽樣時，A1的發(fā)生對A2的發(fā)生概率不影響 同樣，A2的發(fā)生對A1的發(fā)生概率不影響定義：設A，B為兩隨機事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)時，稱A，B相互獨立。

38 注意：

39 例：甲、乙兩人同時向一目標射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標被 擊中的概率。 解： 設 A={甲擊中},B={乙擊中} C={目標被擊中} ∵ 甲、乙同時射擊，其結果互不影響， ∴ A，B相互獨立

40 例：有4個獨立元件構成的系統(tǒng)(如圖)，設每個元件能正常運行的概率為p，求系統(tǒng)正常運行的概率。 注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同

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42總結：

43復習思考題 11.“事件A不發(fā)生，則A=Ф”,對嗎？試舉例證明之。2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=Ф,則A和B互逆”，對嗎？ 反之成立嗎？試舉例說明之。4. 甲、乙兩人同時猜一謎，設A={甲猜中}，B={乙猜中}， 則A∪B={甲、乙兩人至少有1人猜中}。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 則“P(A∪B)=0.7+0.8=1.5”對嗎？5. 滿足什么條件的試驗問題稱為古典概型問題？

447.如何理解樣本點是兩兩互不相容的？8.設A和B為兩隨機事件，試舉例說明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨立？ 什么條件下稱n個事件A1,A2,…,An相互獨立？11.設A和B為兩事件，且P(A)≠0,P(B)≠0,問A和B相互獨立、A和B互不相容能否同時成立？試舉例說明之。12.設A和B為兩事件，且P(A)=a,P(B)=b,問： (1) 當A和B獨立時,P(A∪B)為何值？ (2) 當A和B互不相容時, P(A∪B)為何值？

4513.當滿足什么條件時稱事件組A1,A2,…,An為樣為本空間 的一個劃分？14.設A,B,C為三隨機事件，當A≠B，且P(A)≠0, P(B)≠0時， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。15.設A,B,C為三隨機事件,且P(C)≠0, 問P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。

46第二章 隨機變量及其分布 關鍵詞： 隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù)

47§1 隨機變量* 常見的兩類試驗結果：X= X(e)－－為S上的單值函數(shù)，X為實數(shù) * 中心問題：將試驗結果數(shù)量化* 定義：隨試驗結果而變的量X為隨機變量* 常見的兩類隨機變量

48§2 離散型隨機變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量 離散量的概率分布(分布律)# 概率分布

49 例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經(jīng) 過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨立，且設 各燈為紅燈的概率為p，0

50 例：從生產(chǎn)線上隨機抽產(chǎn)品進行檢測，設產(chǎn)品 的次品率為p，0

51 三個主要的離散型隨機變量 0－1(p) 分布 二項分布樣本空間中只有兩個樣本點即每次試驗結果互不影響在相同條件下重復進行(p+q=1)

52 例：1. 獨立重復地拋n次硬幣，每次只有兩個可能的結果： 正面，反面， 2.將一顆骰子拋n次，設A={得到1點}，則每次試驗 只有兩個結果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設A={取到紅牌}，則 每次只有兩個結果：

53設A在n重貝努利試驗中發(fā)生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項分布，記推導：設Ai={ 第i次A發(fā)生 }，先設n=3

54例： 設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由4個人維護，每人負責20臺； 其二是由3個人共同維護80臺。 試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。

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56 例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0

57 例：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0

58 例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產(chǎn)品，設產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A) 解： 設X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)， 且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。

59 泊松分布(Poisson分布)若隨機變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記例：設某汽車停靠站候車人數(shù) (1)求至少有兩人候車的概率； (2)已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。 解：

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61§3 隨機變量的分布函數(shù)

62 例： 解：

63§4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義： 對于隨機變量X的分布函數(shù) 若存在 非負的函數(shù) 使對于任意實數(shù) 有： 則稱X為連續(xù)型隨機變量，

64 與物理學中的質(zhì)量線密度的定義相類似

65 例：設X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：

66幾個重要的連續(xù)量 均勻分布 定義：X具有概率密度 稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布， 記為X～U(a,b)

67例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機取10個數(shù)，求10個數(shù)中恰有 兩個數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設10個數(shù)中有Y個數(shù)大于0， 則：

68指數(shù)分布定義：設X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無記憶性：

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70 正態(tài)分布定義：設X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗算：

71稱μ為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)

72X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當固定μ時，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴ σ是反映X的取值分散性的一個指標。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。

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74 例：

75 例：一批鋼材(線材)長度 (1)若μ=100，σ=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問σ至多取何值？

76 例：設某地區(qū)男子身高 (1) 從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若從中隨機找5個男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？

77§5 隨機變量的函數(shù)分布問題：已知隨機變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的 測量值可看作隨機變量X，若 則Y服從什么分布？例：已知X具有概率分布 且設Y=X2，求Y的概率分布。 解：Y的所有可能取值為0,1 即找出(Y=0)的等價事件(X=0)； (Y=1)的等價事件(X=1)或(X=-1)

78例：設隨機變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。 Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。

79一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的過程為：關鍵是找出等價事件。

80例：設 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1 (Y=-2)的等價事件為(X=-1)… (Z=1)的等價事件為(X=1)∪(X=-1) 故得：

81例：

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83

84例： 解：例： 解：

85

86復習思考題 21.什么量被稱為隨機變量？它與樣本空間的關系如何？2.滿足什么條件的試驗稱為“n重貝努里試驗”？3.事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p,0

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